如何飞往火星？《张朝阳的物理课》讲解前往火星之旅

如何能从地球启程，利用霍曼转轨飞往火星呢？4月12日中午时分，《张朝阳的物理课》第二百八十二期准时开播。搜狐创始人、董事长兼CEO、物理学博士张朝阳现身搜狐视频直播间，首先讲解了如何划分行星的引力势，即希尔球的概念。随后，他运用希尔球理论，将飞往火星的复杂过程分解为三个仅受单一引力源影响的阶段，并近似推算出脱离地球引力范围的双曲线轨道以及飞往火星的椭圆轨道。计算希尔球的大小 火箭在太阳系中穿梭，始终受到太阳及八大行星甚至小行星的引力影响。为简化分析，我们可将整个航程分段处理，每个时段只考虑一个主要天体的引力作用。希尔球是这方面常用的一个判断标准，具体来说，就是在行星周围的某个区域，火箭相对于该行星的运动主要受其引力支配。这个区域近似为一个以行星为中心、与拉格朗日点L1/L2相交的球体，这便是行星在太阳系中的希尔球。明确了希尔球的概念，我们就能将地球到火星的航行划分为三个阶段：首先，从地球的近地轨道出发，突破地球的希尔球；接着，在太阳引力主导下，行至火星公转轨道附近；最后，进入火星的希尔球并被其捕获。现在，我们来计算地球希尔球的半径，也就是日地拉格朗日点L1到地心的距离。先前课程中已经多次涉及拉格朗日点的计算，这里进行简要回顾。考察太阳与地球构成的两体系统，地球围绕太阳公转的角速度为，日地间距为，太阳与地球的质量分别为与。根据圆周运动公式可得。当然，现实中太阳与地球是绕着质心公转的，因此上述等式右侧分母上的质量应取太阳与地球的总质量。不过，由于太阳质量远大于地球，前面的近似式子是基本成立的。另一方面，考虑位于日地连线上、距离地球一点的物体，假设它能跟随日地系统一起公转，那么。将两式联立，并对等号右边表达式关于的一阶泰勒展开，即可解得（张朝阳计算的希尔球半径）。计算前往火星的转移轨道 在正式推算之前，张朝阳设定了火箭的五个关键速度：为火箭在近地轨道上公转的速度；为火箭在近地轨道点火后进入逃逸阶段的速度；为火箭脱离地球引力、进入转移阶段时相对地球的速度；为火箭脱离地球引力、进入转移阶段时相对太阳的速度；为火箭结束转移阶段时相对太阳的速度。先来计算地球绕太阳公转的速度，依据圆周运动方程可得出。另据能量守恒定律，若想从地球公转轨道上脱离太阳系，需确保火箭动能超过引力势能，即。这意味着，若要朝太阳系内其他行星飞行，火箭相对太阳的速度需介于29.8km/s至42.2km/s之间；若要飞出太阳系，则必须超过42.2km/s。飞往火星属于前者。接下来，确定前往火星的椭圆轨道参数。考察圆锥曲线在极坐标下的参数方程，其中近日点对应日地距离，远日点对应日火距离。由此可解出参数。另一方面，参数B源自于对运动方程进行比奈变换后得到的常数，其中为比角动量的大小，等于轨道速度叉乘位矢得到的矢量大小。联立上述两式，便可求得火箭在进入转移阶段时相对太阳的速度。相应的，火箭相对地球的速度为。此转移轨道的半长轴可借助开普勒第三定律算出，进而得到该轨道的周期。考虑到实际转移仅需半个椭圆，因此耗时大约为八个半月。计算摆脱地球的逃逸轨道 （张朝阳阐释从近地轨道过渡到逃逸轨道的过程） 最后，张朝阳还计算了火箭从近地轨道加速至转移轨道的双曲线轨道。双曲线同样是一种圆锥曲线，其参数方程形式与椭圆轨道相似。设近地轨道高度为，地球半径为，近地轨道的圆周运动速度为。火箭先在近地轨道上短暂加速，速度增至，随后远离地球，其相对地球的渐近速度为。依据机械能守恒关系式，可得。由此可见，此阶段所需的额外速度增量为。